Ecco i primi risultati di un'esercitazione fatta svolgere agli allievi della terza A ELN dell'ITI di Biella.
Data l'area rappresentata nell'immagine 1.
Immagine 1
Si devono calcolare i momenti statici rispetto agli assi x e y, l'area totale e la posizione del baricentro.
Fatto ciò si dovrà calcolare il volume del solido di rotazione (immagini 2 e 3) generato dalla rotazione intorno all'asse y.
Si dovranno calcolare poi i momenti d'inerzia d'area rispetto agli assi x e y, oltre al momento d'inerzia polare ed ai rispettivi raggi d'inerzia.
Ho realizzato il solido di rotazione supponendo che sia realizzato in acciaio con massa volumica di 7800 kg/m^3, e il sistema CAD utilizzato per disegnare il particolare mi fornisce i seguenti dati:
Volume= 1668806,685479 mm^3
Massa= 13,016692 kg
L'esercizio si risolve scomponendo la figura complessa in figure più semplici; si individuano quindi un rettangolo 1 di base 70 mm e altezza 50 mm, un rettangolo 2 di base 20 mm e altezza 70 mm, un semicerchio 3 di raggio 15 mm ed un rettangolo 4 di lato pari a 4 mm.
Si procede al calcolo delle aree delle singole figure geometriche e dell'area complessiva:
A1=70*50=3500 mm^2
A2=20*70=1400 mm^2
A3=(3,14*15*15)/2=353,25 mm^2
A4=2*2=4 mm^2
A=A1+A2-A3-A4=4542,75 mm^2
Si procede ora al calcolo dei momenti statici d'area della figura, avendo cura di dereminare dapprima i singoli momenti delle aree A1, A2, A3, A4 rispetto agli assi e prestando attenzione al fatto che la figura si trova nel secondo quadrante (distanze dei baricentri dall'asse y negative):
Sx1=A1*yG1=3500*[20+120-(50/2)]=402500 mm^3
Sx2=A2*yG2=1400*[20+(70/2)]=77000 mm^3
Sx3=A3*yG3=353,25*{120+20-50+[(4*15)/(3*3,14)]}=34042,5 mm^3
Sx4=A4*yG4=4*[20+10+(2/2)]=124 mm^3
Sx=Sx1+Sx2-Sx3-Sx4=445333,5 mm^3
Sy1=A1*xG1=3500*[-15+(-70/2)]=-175000 mm^3
Sy2=A2*xG2=1400*[-(15+70)-(20/2)]=-105000 mm^3
Sy3=A3*xG3=353,25*[-(15+10+15)]=-14130 mm^3
Sy4=A4*xG4=4*[-(15+70-20)+(2/2)]=-264 mm^3
Sy=Sy1+Sy2-Sy3-Sy4=-265606 mm^3
Si è quindi in grado di calcolare le cooordinate del baricentro della figura complessa, che risultano:
yG=Sx/A=445333,5/4542,75=98,03 mm
yG=Sy/A=-265606/4542,75=-58,47 mm
Si possono ora calcolare i momenti d'inerzia d'area, esattamente in modo analogo a quanto svolto per i momenti statici, avendo cura di sommare al momento d'inerzia baricentrico delle figure semplici il termine di trasporto:
Ix1=(b1*h1^3)/12+A1*yG1^2=(70*50*50*50)/12+3500*115*115=47016666,7 mm^4
Ix2=(b2*h2^3)/12+A2*yG2^2=(20*70*70*70)/12+1400*55*55=4806666,7 mm^4
Ix3=r^4*{(3,14/8)-[(8/(9*3,14)]}+A3*yG3^2=15*15*15*15*{(3,14/8)-[8/(9*3,14)]}+353,25*{90+[(4*15)/(3*3,14)]}^2=3395305,9 mm^4
Ix4=(b4*h4^)/12+A4*yG4^2=2*2*2*2/12+4*31=3845,3 mm^4
Ix=Ix1+Ix2-Ix3-Ix4=48424182,2 mm^4
Iy1=(h1*b1^3)/12+A1*xG1^2=70*70*70*50/12+3500*(-50)*(-50)=10179166,7 mm^4
Iy2=(h2*b2^3)/12+A2*xG2^2=20*20*20*70/12+1400*(-75)*(-75)=7921666,7 mm^4
Iy3=(3,14*r^4)/8+A3*xG3^2=3,14*15*15*15*15/8+353,25*(-40)*(-40)=585070,3 mm^4
Iy4=(h4*b4^3)/12+A4*xG4^2=2*2*2*2/12+4*(-66)*(-66)=17425,3 mm^4
Iy=Iy1+Iy2-Iy3-Iy4=17498337,8 mm^4
Si può ora procedere al calcolo del momento d'inerzia polare
I0=Ix+Iy=65922520 mm^4
e dei raggi d'inerzia
rox=[Ix/(A^2)]^(1/2)=103,25 mm
roy=[Iy/(A^2)]^(1/2)=64,22 mm
ro0=[I0/(A^2)]^(1/2)=120,46 mm
Il volume del solido di rotazione intorno all'asse y è invece così calcolato:
V=A*2*3,14*valore assoluto (xG)=4542,75*6,28*58,47=1668059,64 mm^3
Il valore del volume consente di calcolare la massa del solido di rotazione nota la massa volumica di 7800 kg/m^3:
m=massa volumica*V=7800*1668059,64*10^-9=13 kg.
Come si può notare, tali valori sono simili a quelli determinati in automatico dal sistema CAD.
L'esercizio si risolve scomponendo la figura complessa in figure più semplici; si individuano quindi un rettangolo 1 di base 70 mm e altezza 50 mm, un rettangolo 2 di base 20 mm e altezza 70 mm, un semicerchio 3 di raggio 15 mm ed un rettangolo 4 di lato pari a 4 mm.
Si procede al calcolo delle aree delle singole figure geometriche e dell'area complessiva:
A1=70*50=3500 mm^2
A2=20*70=1400 mm^2
A3=(3,14*15*15)/2=353,25 mm^2
A4=2*2=4 mm^2
A=A1+A2-A3-A4=4542,75 mm^2
Si procede ora al calcolo dei momenti statici d'area della figura, avendo cura di dereminare dapprima i singoli momenti delle aree A1, A2, A3, A4 rispetto agli assi e prestando attenzione al fatto che la figura si trova nel secondo quadrante (distanze dei baricentri dall'asse y negative):
Sx1=A1*yG1=3500*[20+120-(50/2)]=402500 mm^3
Sx2=A2*yG2=1400*[20+(70/2)]=77000 mm^3
Sx3=A3*yG3=353,25*{120+20-50+[(4*15)/(3*3,14)]}=34042,5 mm^3
Sx4=A4*yG4=4*[20+10+(2/2)]=124 mm^3
Sx=Sx1+Sx2-Sx3-Sx4=445333,5 mm^3
Sy1=A1*xG1=3500*[-15+(-70/2)]=-175000 mm^3
Sy2=A2*xG2=1400*[-(15+70)-(20/2)]=-105000 mm^3
Sy3=A3*xG3=353,25*[-(15+10+15)]=-14130 mm^3
Sy4=A4*xG4=4*[-(15+70-20)+(2/2)]=-264 mm^3
Sy=Sy1+Sy2-Sy3-Sy4=-265606 mm^3
Si è quindi in grado di calcolare le cooordinate del baricentro della figura complessa, che risultano:
yG=Sx/A=445333,5/4542,75=98,03 mm
yG=Sy/A=-265606/4542,75=-58,47 mm
Si possono ora calcolare i momenti d'inerzia d'area, esattamente in modo analogo a quanto svolto per i momenti statici, avendo cura di sommare al momento d'inerzia baricentrico delle figure semplici il termine di trasporto:
Ix1=(b1*h1^3)/12+A1*yG1^2=(70*50*50*50)/12+3500*115*115=47016666,7 mm^4
Ix2=(b2*h2^3)/12+A2*yG2^2=(20*70*70*70)/12+1400*55*55=4806666,7 mm^4
Ix3=r^4*{(3,14/8)-[(8/(9*3,14)]}+A3*yG3^2=15*15*15*15*{(3,14/8)-[8/(9*3,14)]}+353,25*{90+[(4*15)/(3*3,14)]}^2=3395305,9 mm^4
Ix4=(b4*h4^)/12+A4*yG4^2=2*2*2*2/12+4*31=3845,3 mm^4
Ix=Ix1+Ix2-Ix3-Ix4=48424182,2 mm^4
Iy1=(h1*b1^3)/12+A1*xG1^2=70*70*70*50/12+3500*(-50)*(-50)=10179166,7 mm^4
Iy2=(h2*b2^3)/12+A2*xG2^2=20*20*20*70/12+1400*(-75)*(-75)=7921666,7 mm^4
Iy3=(3,14*r^4)/8+A3*xG3^2=3,14*15*15*15*15/8+353,25*(-40)*(-40)=585070,3 mm^4
Iy4=(h4*b4^3)/12+A4*xG4^2=2*2*2*2/12+4*(-66)*(-66)=17425,3 mm^4
Iy=Iy1+Iy2-Iy3-Iy4=17498337,8 mm^4
Si può ora procedere al calcolo del momento d'inerzia polare
I0=Ix+Iy=65922520 mm^4
e dei raggi d'inerzia
rox=[Ix/(A^2)]^(1/2)=103,25 mm
roy=[Iy/(A^2)]^(1/2)=64,22 mm
ro0=[I0/(A^2)]^(1/2)=120,46 mm
Il volume del solido di rotazione intorno all'asse y è invece così calcolato:
V=A*2*3,14*valore assoluto (xG)=4542,75*6,28*58,47=1668059,64 mm^3
Il valore del volume consente di calcolare la massa del solido di rotazione nota la massa volumica di 7800 kg/m^3:
m=massa volumica*V=7800*1668059,64*10^-9=13 kg.
Come si può notare, tali valori sono simili a quelli determinati in automatico dal sistema CAD.
Immagine 2
Immagine 3
Faccio ora la proposta di valutare il valore dei seguenti parametri per le figure rappresentate nelle immagini 4 e 6:
- Momento statico rispetto asse orizzontale.
- Momento statico rispetto asse verticale.
- Area totale.
- Momento d'inerzia d'area rispetto asse orizzontale.
- Momento d'inerzia d'area rispetto asse verticale.
- Momento d'inerzia polare d'area.
- Raggi d'inerzia per asse verticale, asse orizzontale, polare.
- Volume del solido di rotazione generato da una rotazione di 360° intorno all'asse.
- Nota una massa volumica pari a 7800 kg/m^3 valutare anche la massa del pezzo.
Sono fornite le figure geometriche piane (immagini 4 e 6) e le sezioni tridimensionali che vengono generale dalla rotazione intorno all'asse (immagini 5 e 7).
Immagine 4
Immagine 5
Immagine 6
Immagine 7
